函数y=f是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f=f成立，当x∈=

题文

函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成立，当x∈（0，2]时，f（x）=-x2+1．（Ⅰ）当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当x=0时，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0．…（1分）当x∈[-2，0）时，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=x2-1                                 …（3分）由f（x+4）=f（x），知y=f（x）又是周期为4的函数，所以当x∈[4k-2，4k]时，x-4k∈[-2，0）∴f（x）=f（x-4k）=（x-4k）2-1，…（5分）当x∈（4k，4k+2]时x-4k∈（0，2]，∴f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）2+1    …（7分）故当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式为(x-4k)2-1，x∈[4k-2，4k)0          x=4k，(k∈Z)-(x-4k)2+1，x∈(4k，4k+2]      …（9分）（Ⅱ）当x∈（-2，2]时，由f（x＞-1），得-2＜x＜0x2-1＞-1，或0＜x≤2-x2+1＞-1，或x=0．解之，得-2＜x＜2，…（12分）∵函数y=f（x）的周期为4，∴f（x）＞-1的解集为{x|4k-2＜x＜4k+2}（k∈Z）…（14分）

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解析

(x-4k)2-1，x∈[4k-2，4k)0          x=4k，(k∈Z)-(x-4k)2+1，x∈(4k，4k+2]

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|