已知函数f(x)=x2+kx ．判断函数f 的奇偶性，并证明你的结论；若k=8，证明：当a＞3 时，关于x 的方程f（x

题文

已知函数f(x)=x2+kx （x≠0，常数k∈R）．（1）判断函数f（x） 的奇偶性，并证明你的结论；（2）若k=8，证明：当a＞3 时，关于x 的方程f（x）=f（a） 有三个实数解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当k=0 时，f（x） 是偶函数；当k≠0 时，f（x） 既不是奇函数，也不是偶函数． 证明：①当k=0 时，f（x）=x2 （x≠0 ），∴f（-x）=（-x）2=x2=f（x），∴f（x） 是偶函数；         ②当k≠0 时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，∴f（-1）≠-f（1）；                 又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，∴f（-1）≠f（1）．                   ∴f（x） 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）由f（x）=f（a） 得，x2+8x=a2+8a，化简整理得，(x-a)(x+a-8ax)=0，由x-a=0 得，方程的一个解x1=a；          由x+a-8ax=0 得，ax2+a2x-8=0，①∵a＞3 ，∴△=a4+32a＞0，解①得  x2=-a2-a4+32a2a，x3=-a2+a4+32a2a，∵x2＜0，x3＞0，∴x2＜x3，又x1＞0，∴x1＞x2．                                若x1=x3，即a=-a2+a4+32a2a，则3a2=a4+32a，∴a4=4a，解得a=0 或a=34，与a＞3 矛盾，∴x1≠x3 故原方程有三个实数解．

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解析

8x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+kx （x≠0，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|