设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，，且f=2，f＜3，f在[1，+∞）上单调递增．求a，b，c的值；（2

题文

设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．（1）求a，b，c的值；（2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为奇函数，故f（x）的定义域关于原点对称又f（x）的定义域为{x|x≠-cb}（显然b≠0，否则f（x）为偶函数）∴-cb=0，即c=0于是得f(x)=abx+1bx，且a+1b=2，4a+12b＜3∴8b-32b＜3∴0＜b＜32又b∈Z∴b=1∴a=1故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增 （2）由（1）知f(x)=x+1x，f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=(x1-x2)(1-1x1x2)=x1-x2x1x2(x1x2-1)①当-1＜x1＜x2＜0时，显然x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x）为减函数②当x1＜x2＜-1时，显然x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0∴f（x1）-f（x2）＜0∴f（x）为增函数综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|