已知函数f=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f≤0，且f≥0．求p、q之间的关系式；求p的取值范围；（

题文

（附加题）已知函数f（x）=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0．（1）求p、q之间的关系式；（2）求p的取值范围；（3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值，并求此时f（sinθ）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当θ∈R时，-1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，由已知f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0可知，对于函数f（x），当-1≤x≤1时，f（x）≤0；当1≤x≤3时，f（x）≥0；且f（x）的一个根为1，令f（x）另外一根为a，则两根之和1+a=-p，所以另一根为a=-P-1，两根之积为1×a=-p-1=q，所以p，q关系为-p-1=q，即1+p+q=0        （3分）（2）由题意知任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0，可知 f（1）=0  又因为要满足f（sinθ）≤0，所以 f（-1）≤0，故有对称轴x=-p2≤0解得P≥0．                              （6分）（3）根据f（x）的函数的图象可知，当1≤x≤3时，f（x）为增函数，所以x=3时，f（x）取得最大值∴f（3）=9+3p+q=14，∴9+3p-p-1=14，则p=3，q=-4，得到f（x）=x2+3x-4，可知，当-1≤x≤1时，f（x）为增函数，当sinθ=-1时，f（sinθ）取得最小值为-6．

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解析

p2

考点

据考高分专家说，试题“（附加题）已知函数f（x）=x2+px+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|