设a，b是实数，函数f(x)=12x+b

题文

设a，b是实数，函数f(x)=12x+b-a是R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并请你用函数的单调性给予证明；（Ⅲ）不等式f（m-2）+f（2x+1+4x）＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即11+b-a=0①，12-1+b-a=-（12+b-a）②，联立①②解得a=12b=1，经检验，符合题意，所以实数a=12，b=1；（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，证明如下：由（Ⅰ）知f（x）=12x+1-12，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（12x1+1-12）-（12x2+1-12）=2x2-2x1(2x1+1)(2x2+1)，因为x1＜x2，所以2x2-2x1＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（Ⅲ）因为f（x）为奇函数，所以f（m-2）+f（2x+1+4x）＜0可化为f（2x+1+4x）＜-f（m-2）=f（2-m），又f（x）单调递减，所以2x+1+4x＞2-m，由题意，只需（2x+1+4x）min＞2-m，而2x+1+4x=（2x+1）2-1＞0，所以2-m≤0，即m≥2，实数m的范围为m≥2．

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解析

11+b

考点

据考高分专家说，试题“设a，b是实数，函数f(x)=12x+b.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|