已知函数f=lnx，g=12ax2

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2-（a-1）x，（a∈R）．（Ⅰ）已知函数y=g（x）的零点至少有一个在原点右侧，求实数a的范围．（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=x1+x22；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）=存在“中值相依切线”．试问：函数G（x）=f（x）-g（x）（a∈R且a≠0）是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）（1）当a=0时，g（x）=x，直线与x轴的交点为O（0，0），即函数y=g（x）的零点为0，不在原点右侧，不满足条件．（1分）（2）当a=1时，g（x）=12x2，抛物线的顶点为O（0，0），即函数y=g（x）的零点为0，不在原点右侧，不满足条件．（2分）（3）当0＜a＜1时，g（x）=12ax2-（a-1）x=12a（x-a-1a）2-(a-1)22a，抛物线开口向上且过原点，对称轴x=a-1a＜0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数y=g（x）的零点不在原点右侧，不满足条件．（3分）（4）当a＞1时，g（x）=12ax2-（a-1）x=12a（x-a-1a）2-(a-1)22a，抛物线开口向上且过原点，对称轴x=a-1a＞0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y=g（x）有一个零点在原点右侧，满足条件．（4分）（5）当a＜0时，g（x）=12ax2-（a-1）x=12a（x-a-1a）2-(a-1)22a，抛物线开口向下且过原点，对称轴x=a-1a＞0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y=g（x）有一个零点在原点右侧，满足条件．（5分）综上可得，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．（6分）（Ⅱ）假设函数G（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2），是曲线y=G（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=lnx1-12ax21+（a-1）x1，y2=lnx2-12ax22+（a-1）x2．kAB=lnx2-lnx1x2-x1-12a（x1+x2）+（a-1）（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=G′（x0）=2x1+x2-a•x1+x22+(a-1)，（9分）依题意得：lnx2-lnx1x2-x1-12a（x1+x2）+（a-1）=2x1+x2-a•x1+x22+(a-1)．化简可得：lnx2-lnx1x2-x1=2x1+x2，即lnx2x1=2(x2x1-1)x2x1+1．（11分）设x2x1=t（t＞1），上式化为：lnt=2-4t+1，即lnt+4t+1=2．（12分）令h（t）=lnt+4t+1，则h′（t）=(t-1)2t(t+1)2．因为t＞1，显然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上递增，显然有h（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+4t+1=2成立．综上所述，假设不成立．所以函数G（x）不存在“中值相依切线”．（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=12.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|