已知函数f=x2+bsinx

题文

已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b．（2）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k的零点个数？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（-x）=（-x）2+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．（4分）（2）h(x)=ln(1+x2)-12x2+1-k，令y=ln(1+x2)-12x2+1．所以y′=2x1+x2-x=-(x+1)x(x-1)x2+1令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：x（-∞-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，+∞）y'+0-0+0-h（x）单调递增极大值ln2+12单调递减极小值1单调递增极大值ln2+12单调递减所以当k＞ln2+12时，函数无零点；当k＜1或k=ln2+12时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当1＜k＜ln2+12时，函数有四个零点．（13分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+bsinx-2，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|