已知函数f=ax+x2

题文

已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞1）．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，试求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna．∵f'（0）=0，且a＞1．当x＞0时，lna＞0，ax-1＞0⇒f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，lna＞0，ax-1＜0⇒f'（x）＜0．故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）当a＞1时，由（Ⅰ）可知：f（x）在x=0处取得最小值，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，由此可解得：t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，因此当x∈[-1，1]时，有：|（f（x））max-（f（x））min|=（f（x））max-（f（x））min≥e-1．又由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（-1），f（1）}，而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(1a+1+lna)=a-1a-2lna．记g(t)=t-1t-2lnt (t≥1)，因为g(t)′=1+1t2-2t=(1t-1)2≥0（当t=1时取等号）因此g(t)=t-1t-2lnt在t∈[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，故当t＞1时，g（t）＞0；即当a＞1时，f（1）＞f（-1）由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，综上所述，所求a的取值范围为[e，+∞）．

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+x2-xlna（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|