已知函数f(x)=x3a2图象上斜率为3的两条切线间的距离为2105，函数g(x)=f(x)

题文

已知函数f(x)=x3a2图象上斜率为3的两条切线间的距离为2105，函数g(x)=f(x)-3bxa2+3．（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；（2）若函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，且b2-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f′(x)=3a2•x2，∴由3a2•x2=3得x=±a，即切点坐标为（a，a），（-a，-a）∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0∴|-2a-2a|32+(-1)2=2105，解得a=±1，∴f（x）=x3．∴g（x）=x3-3bx+3（4分）∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，∴g′（1）=0，即3×12-3b=0，解得b=1∴g（x）=x3-3x+3（6分）（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，∴b≤0，又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，∴b2-mb+4≥g（1）（8分）即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立∴m≥3．故m的取值范围是[3，+∞）

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解析

3a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x3a2图象上斜率为3.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|