已知定义域为R的函数f对任意的x，y∈R，f≠0，且f=ff求f的值；若f为单调函数，f=2，向

题文

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）（1）求f（0）的值；（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量a=(2cosθ2，1)，b=(2λsinθ2，cos2θ)，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，f(a•b)-f(3)≤0恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），∵f（x）≠0，∴f（0）=1．（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，∴f（x）是增函数，∵a•b=λsinθ+cos2θ，f（a•b）-f（3）≤0∴f（λsinθ+cos2θ）≤f（3）又∵f（x）是增函数，∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos2θ≤3恒成立，即sin2θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）令t=sinθ，得t2-λt+2≥0∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，令h（t）=t2-λt+2=(t-λ2)2+2-λ24（-1≤t≤1），①当λ2＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；②当-1≤λ2≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（λ2）≥0，则（*）恒成立，∵h（λ2）=2-λ24≥0，∴-22≤λ≤22，∴-2≤λ≤2；③当λ2＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．

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解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|