设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；f(n

题文

设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；（2）f(n)=n+3，n为正奇数2n+1，n为正偶数问是否存在k∈N*使f（k+27）=4f（k）成立．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）对任意的正整数n，不等式a(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)-1n-1+an+1≤0恒成立，求正数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）an=a1+（n-1）d=4+n-1=n+3．当n=1时，b1=S1=3．当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．当n=1时上式也成立，∴bn=2n+1（n∈N*）．所以an=n+3，bn=2n+1．（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=n+3，n为正奇数2n+1，n为正偶数∴当k为正奇数时，k+27为正偶数由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=432．（舍）当k为正偶数时，k+27为正奇数，由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=267．（舍）因此，符合条件的正整数k不存在（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤12n+3(1+1b1)(1+1b2)(1+1b3)…(1+1bn）．设g（n）=12n+3(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn）．∴g(n+1)g(n)=2n+32n+5(1+1bn+1)=2n+32n+5×2n+42n+3=2n+42n+52n+3．又∵(2n+5)(2n+3)＜(2n+5)+(2n+3)2=2n+4，∴g(n+1)g(n)＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）随n的增大而增大，故g（n）min=g（1）=15(1+13)=4515．∴0＜a≤4515．

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解析

n+3，n为正奇数2n+1，n为正偶数

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是首项为4，公差为1的等差.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|