已知函数f(x)=3xa+3(a

题文

已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x（a≠0且a≠1）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当x＞0时，函数在(0，6)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；（3）（理）记（2）中的函数的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．（文） 记（2）中的函数的图象为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f(x)=3xa+3(a-1)x=3a（x+a(a-1)x），∴由双钩函数y=x+mx（m＞0）在（-∞，-m]，[m，+∞）上单调递增，在[-m，0），（0，m]单调递减，可得：①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(-a(a-1)，0)及(0，a(a-1))，②当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-a(a-1))及(a(a-1)，+∞)；又当0＜a＜1时，y=3ax为R上的增函数，y=3(a-1)x为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，∴③当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）（2）由题设及（1）中③知a(a-1)=6且a＞1，解得a=3，（9分）因此函数解析式为f(x)=3x3+23x（x≠0）．                     （10分）（3）（理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，由此得q+q′2=kp+p′2，q-q′p-p′=-1k，且q=p3+23p，q′=p′3+23p′，（14分）整理得k-1k=23，解得k=3或k=-33，所以存在直线y=3x及y=-33x为曲线C的对称轴．           （16分）（文）该函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲线C的对称中心为（0，0），因为对任意x∈D，f(-x)=-3xa+3(a-1)-x=-[3xa+3(a-1)x]=-f(x)，所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形．                    （10分）

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解析

3xa

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|