已知函数f=2x+1定义在R上．若f可以表示为一个偶函数g与一个奇函数h之和，设h=t，p=g+2mh+

题文

已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，由①②解得g(x)=f(x)+f(-x)2，h(x)=f(x)-f(-x)2．∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．∵g(-x)=f(-x)+f(x)2=g(x)，h(-x)=f(-x)-f(x)2=-h(x)．∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，∴g(x)=f(x)+f(-x)2=2x+1+2-x+12=2x+12x，h(x)=f(x)-f(-x)2=2x+1-2-x+12=2x-12x．由2x-12x=t，则t∈R，平方得t2=(2x-12x)2=22x+122x-2，∴g(2x)=22x+122x=t2+2，∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1．（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴32≤t≤154．∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[32，154]恒成立，∴m≥-t2+22t对于t∈[32，154]恒成立，令φ(t)=-t2+22t，则φ′(t)=12(2t2-1)，∵t∈[32，154]，∴φ′(t)=12(2t2-1)＜0，故φ(t)=-t2+22t在t∈[32，154]上单调递减，∴φ(t)max=φ(32)=-1712，∴m≥-1712为m的取值范围．（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2-4（m2-m+1）=4（m-1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±m-1，即t2+2mt+m2+1±m-1=0②，只要方程②无实根，故其判别式△2=4m2-4(m2+1±m-1)＜0，即得-1-m-1＜0③，且-1+m-1＜0④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．

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解析

f(x)+f(-x)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|