设函数f=ax3

题文

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-13．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（Ⅲ）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤43． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c由题意得f(1)=a+c=-13f′(1)=3a+c=0，解得a=16，c=-12（II）不存在．证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1所以（x12-1）（x22-1）=-4因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]因此（x12-1）（x22-1）≠-4所以不存在．（III）证明：f′(x)=12x2-12由f′(x)=12x2-12=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-13，fmax(x)=f(-1)=13所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=23＜43

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解析

f(1)=a+c=-13f′(1)=3a+c=0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|