已知函数f(x)=ln2(1+x)

题文

已知函数f(x)=ln2(1+x)-x21+x.（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式(1+1n)n+a≤e对任意的n∈rmN*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），f′(x)=2ln(1+x)1+x-x2+2x(1+x)2=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x(1+x)2.设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，则g'（x）=2ln（1+x）-2x．令h（x）=2ln（1+x）-2x，则h′(x)=21+x-2=-2x1+x.当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0（x≠0），函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数．于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0．所以，当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上为增函数．当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数．故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）不等式(1+1n)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+1n)≤1.由1+1n＞1知，a≤1ln(1+1n)-n.设G(x)=1ln(1+x)-1x，x∈(0，1]，则G′(x)=-1(1+x)ln2(1+x)+1x2=(1+x)ln2(1+x)-x2x2(1+x)ln2(1+x).由（Ⅰ）知，ln2(1+x)-x21+x≤0，即（1+x）ln2（1+x）-x2≤0．所以G'（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上为减函数．故函数G（x）在（0，1]上的最小值为G(1)=1ln2-1.所以a的最大值为1ln2-1.

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解析

2ln(1+x)1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln2(1+x)-x2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|