设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x

题文

设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（I）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）y=x33-4x+163．由y'=x2-4=0，得x=±2．因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，当x∈（-2，2）时，y'＜0，当x∈（2，+∞）时，y'＞0，故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），单调递减区间是（-2，2）．（II）证明：（i）方法一：令h(x)=f(x)-gt(x)=x33-t23x+23t(x＞0)，则h′(x)=x2-t23，当t＞0时，由h'（x）=0，得x=t13，当x∈(x13，+∞)时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t13)=0．故当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立．方法二：对任意固定的x＞0，令h(t)=gt(x)=t23x-23t(t＞0)，则h′(t)=23t-13(x-t13)，由h'（t）=0，得t=x3．当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．当t＞x3时，h'（t）＜0，所以当t=x3时，h（t）取得最大值h(x3)=13x3．因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．（ii）方法一：f(2)=83=gt(2)．由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．下面证明x0的唯一性：当x0≠2，x0＞0，t=8时，f(x0)=x033，gx(x0)=4x0-163，由（i）得，x033＞4x0-163，再取t=x03，得gx03(x0)=x033，所以gx(x0)=4x0-163＜x033=gx03(x0)，即x0≠2时，不满足gx（x0）≥gt（x0）对任意t＞0都成立．故有且仅有一个正实数x0=2，使得gx（x0）0≥gt（x0）对任意正实数t成立．方法二：对任意x0＞0，gx(x0)=4x0-163，因为gt（x0）关于t的最大值是13x03，所以要使gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-163≥13x03，即（x0-2）2（x0+4）≤0，①又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，所以有且仅有一个正实数x0=2，使得gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．

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解析

x33

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=x33，对任意实数t，记gt.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|