已知函数f=x22x+1当x1＞0，x2＞0且f•f=1时，求证：x1•x2≥3+22若数列{an}满足a1=1an

题文

已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+22（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数列{an}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵x1＞0，x2＞0，f（x1）•f（x2）=1，∴x122x1+1 •x222x2+1=1，…（2分）∴(x1x2)2=(2x1+1)(2x2+1)=4x1x2+2（x1+x2）+1≥4x1x2+4x1x2 +1=（2x1x2+1）2．…（4分）∴x1x2≥2x1x2+1，∴(x1x2-1)2≥2，∴x1x2-1≥ 2，或x1x2-1≤-2（舍去）．∴x1x2≥2+1，∴x1x2≥(2+1)2=3+22．…（6分）（2）解法一：∵a1=1，an＞0，an+1=f(an)=an22an+1，∴1an+1=2an+1an2=2an+1an2=(1+1an)2-1，∴1+1an+1=(1+1an)2．…（8分）∴lg(1+1an+1)=lg(1+1an)2=2lg(1+1an)．…（10分）∴数列{lg(1+1an)}是首项为lg（1+1a1）=lg2，公比为2的等比数列．∴lg(1+1an)=2n-1•lg2=lg22n-1．…（12分）∴1+1an=22n-1，∴an=122n-1-1．…（14分）解法二：∵a1=1，an＞0，an+1=f(an)=an22an+1，∴an+11+an+1=an22an+11+an22an+1=an2an2+2an+1=(an1+an)2，…（8分）∴lg(an+11+an+1)=lg(an1+an)2=2lg(an1+an)．…（10分）∴数列{lg(a n1+an)}是首项为lg(a11+a1)=lg12，公比为2的等比数列．∴lg(an1+an)=2n-1•lg12=lg(12)2n-1，…（12分）∴an1+an=(12)2n-1，∴an=122n-1-1．…（14分）

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解析

x122x1+1 

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|