设函数f(x)=a2

题文

设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a．（a∈R且a≠0）（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=1时，f(x)=1-x2|x+1|+1，由1-x2≥0，∴-1≤x≤1．所以f(x)=1-x2x+2∵f(12)=35，f(-12)=33，∴f(12)≠f(-12)，f(12)≠-f(-12)，∴f（x）为非奇非偶函数．                                     （4分）（如举其他的反例同样给分）当a=-2时，f(x)=4-x2|x-2|-2，由4-x2≥0，得-2≤x≤2，所以f(x)=4-x2-x，x∈[-2，0）∪（0，2]，∵f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．（4分）（2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a2-x2≥0，得-a≤x≤a，∴f(x)=a2-x2x+2a，可以验证：对任意的a＞0，f(a2)≠f(-a2)，f(-a2)≠-f(a2)，∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分）                               （3分）a＜0时，由a2-x2≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=a2-x2-x，x∈[a，0)∪(0，-a]，并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）

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解析

1-x2|x+1|+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|