已知函数f=x2+2x+alnx．若a=

题文

已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得，f(x)=x2+2x-4lnx⇒f′(x)=2x+2-4x．由函数的定义域为x＞0，∴f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒0＜x＜1．∴函数f（x）有极小值f（1）=3．（Ⅱ）∵f（x）=x2+2x+alnx，∴f(2t-1)≥2f(t)-3⇒2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=alnt22t-1．当t≥1时，t2≥2t-1，∴lnt22t-1≥0．即t＞1时，a≤2(t-1)2lnt22t-1恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，∴lnt22t-1=ln[1+(t-1)22t-1]≤(t-1)22t-1＜(t-1)2在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，lnt22t-1≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

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解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+2x+alnx．.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|