已知复数：z1=log2+ki，z2=1

题文

已知复数：z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记f（x）=Re（z1•z2）（1）试写出f（x）关于x的函数解析式（2）若函数f（x）是偶函数，求k的值（3）求证：对任意实数m，由（2）所得函数y=f（x）的图象与直线y=12x+m的图象最多只有一个交点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi∴z1•z2=[log2（2x+1）+ki]•（1-xi）=[log2（2x+1）+kx]+[k-x•log2（2x+1）+ki]i（2分）f（x）=Re（z1•z2）=log2（2x+1）+kx（2分）（2）设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数得：f（-x）=f（x）（4分）log2（2x+1）-kx=log2（2x+1）+kx2kx=log2（2-x-12x+1）=-x（2k+1）x=0得：k=-12（8分）证明：（3）由（2）得：f（x）=log2（2x+1）-12x联立方程：y=log2（2x+1）-12x和y=12x+m得：log2（2x+1）-12x=12x+m （10分）即m=log2（2x+1）-xlog2（2x+1）=x+m=log22（x+m）得：2x+1=2（x+m）2x•（2m-1）=1（11分）若 m=0   方程无解（12分）若 m＜0，2m-1＜0，2x＜0方程无解（13分）若m＞0  2x=12m-1x=log212m-1方程有唯一解（14分）对任意实数m，函数y=f（x）的图象与直线y=12x+m的图象的交点最多只有一个．（15分）

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解析

2-x-12x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知复数：z1=log2（2x+1）+k.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|