已知定义在上的函数f同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈，都有f=f+f；②当x＞1时，f＜0；③f

题文

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（1）计算f（9），f(3)的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(x0y0)+12=0，x0，y0∈(0，+∞)}．问：是否存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（3）=-1，∴f（3）=-12（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且yx=t  （t＞1）则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0∴f（x）＞f（y）∴f（x）在（0，+∞）上为减函数（3）依题意可得f（1）=0，f（13）=1，f（19）=2f（x02+1）-f（5y0）-2＞0⇔f（x02+1）＞f（5y0）+2=f（5y0）+f（19）=f（59y0）⇔x02+1＜59y0）①f(x0y0)+12=0⇔f(x0y0)+f(33)=0⇔f（3x03y0）=f（1）⇔3x03y0=1②将②代入①得27x02-53x0+27＜0此不等式无解故不存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B

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解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|