已知函数f=inx

题文

已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤inxx+1恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分12分）（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-axx，若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=1a，当x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，当x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）单调递减．…（4分）（Ⅱ）f（x）-lnxx+1=xlnx-a(x2-1)x+1，令g（x）=xlnx-a（x2-1），（x≥1），g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，F′(x)=1-2axx，…（6分）①或a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）-lnxx+1≥0不符合题意．…（8分）②若0＜a＜12，当x∈（1，12a），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，12a）递增，从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）-lnxx+1≥0不符合题意．…（10分）③若a≥12，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，从而g9x）在[1，+∞）递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-lnxx+1≤0，综上所述，a的取值范围是[12，+∞）．…（12分）

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解析

1-axx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=inx-a（x-1），.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|