已知f(x)=a2x

更新时间:2023-02-04 19:19:31 阅读: 评论:0

题文

已知f(x)=a2x-12x+1(a∈R),是R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞)解不等式f-1(x)>log21+xk. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)由题知f(0)=0,得a=1,此时f(x)+f(-x)=2x-12x+1+2-x-12-x+1=2x-12x+1+1-2x1+2x=0,即f(x)为奇函数.(2)∵y=2x-12x+1=1-22x+1,得2x=1+y1-y(-1<y<1),∴f-1(x)=log21+x1-x(-1<x<1).(3)∵f-1(x)>log21+xk,∴1+x1-x>1+xk-1<x<1,∴x>1-k-1<x<1,①当0<k<2时,原不等式的解集{x|1-k<x<1},②当k≥2时,原不等式的解集{x|-1<x<1}.

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解析

2x-12x+1

考点

据考高分专家说,试题“已知f(x)=a2x-12x+1(a∈R.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义:

偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。 奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。  函数的周期性:

(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 (2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。

奇函数与偶函数性质:

(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。

注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.

2、函数的周期性    令a , b 均不为零,若:  (1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  (2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| (3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| (4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  (5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|

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