已知△ABC中，满足AB2=AB•AC+BA•BC+CA•CB，a，b，c分别是△ABC的三边．试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．（

题文

已知△ABC中，满足AB2=AB•AC+BA•BC+CA•CB，a，b，c分别是△ABC的三边．（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵AB2=AB•AC+BA•BC+CA•CB=AB•（AC-BC）+CA•CB=AB2+CA•CB，∴CA•CB=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．∴sinA+sinB=sinA+cosA=2sin(A+π4)∈(1，2]．（5分）（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)abc 对任意的a，b，c均成立．∵右边=1c3sinAcosA[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+sinA+cosA+1sinAcosA．（8分）令t=sinA+cosA(t∈(1，2])，则f(t)=t+t+1t2-12=t-1+2t-1+1，∴当t=2时，f(t)min=32+2，（11分） 故 k∈[ 32+2 ，+∞)． （12分）

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解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“已知△ABC中，满足AB2=AB•AC+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|