已知定义在R上的奇函数f(x)=

题文

已知定义在R上的奇函数f(x)=-2x+b2x+1+a．（1）求a、b的值；（2）若不等式-m2+(k+2)m-32＜f(x)＜m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于f（x）为R上的奇函数，故 f（0）=0，得 b=1…（1分）则 f(x)=1-2x2x+1+a由 f（-1）=-f（1）得1-121+a=-1-24+a，解得 a=2∴a=2b=1…（4分）（2）由（1）f(x)=1-2x2x+1+2=-12+12x+1由 2x+1＞1知 0＜12x+1＜1则 -12＜f(x)＜12…（6分）要使-m2+(k+2)m-32＜f(x)＜m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立则需且只需 -m2+(k+2)m-32≤-12m2+2km+k+52≥12对 m∈R恒成立即 m2-(k+2)m+1≥0m2+2km+k+2≥0对 m∈R恒成立 …（8分）只需 △1=(k+2)2-4≤0△2=(2k)2-4(k+2)≤0解得-1≤k≤0…（9分）（3）当x∈（-1，1）时g(x)=f(x)-x=-12+12x+1-x显然12x+1及-x均为减函数，故g（x）在（-1，1）上为减函数 …（11分）由于g（0）=0，故在（-1，1）内g（x）=0有唯一根x=0由于g（x）周期为2，由此有x∈（2k-1，2k+1）内有唯 一根x=2k（k∈N）（1）…（12分）综合得x=2k（k∈N）为g（x）=0的根又因为g（-1）=g（-1+2）=g（1）得-g（1）=g（1）故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）（2）…（13分）综合（1）（2）有g（x）=0的所有解为一切整数 …（14分）

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解析

1-2x2x+1+a

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的奇函数f(x)=-2x+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|