已知a＞1，f(logax)=aa2

题文

已知a＞1，f(logax)=aa2-1(x-1x)（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=logax，则x=at，代入f(logax)=aa2-1(x-1x)，可得f(t)=aa2-1(a2-a-2)∴函数的解析式f(x)=aa2-1(ax-a-x)；（2）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=aa2-1(a-x-ax)=-aa2-1(ax-a-x)=-f(x)，∴f（x）为奇函数；设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=aa2-1(ax1-a-x1)-aa2-1(ax2-a-x2)=aa2-1(ax1-ax2)(1+1ax1+x2)，a＞1时，∵x1＜x2，∴aa2-1＞0，ax1-ax2＜0，1+1ax1+x2＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）单调递增；（3）若当x∈（-1，1）时，有1-m∈（-1，1）且1-m2∈（-1，1），f（1-m）+f（1-m2）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-m2），∵f（x）为奇函数，∴f（1-m）＜f（m2-1），又f（x）为增函数，∴1-m＜m2-1，由-1＜1-m＜1-1＜1-m2＜1m2+m-2＞0解得，1＜m＜2，故M={m|1＜m＜2}．

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解析

aa2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞1，f(logax)=aa2-1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|