已知二次函数f=ax2+bx+c若f=0，试判断函数f零点个数；若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f≠f（

题文

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：12[f（x1）+f（x2）]＞f（x1+x22）成立．（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤12(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（-1）=0，∴a-b+c=0，b=a+c，∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2，当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．（2）12[f（x1）+f（x2）]-f（x1+x22）=12（ax12+bx1+c+ax22+bx2+c）-[a(x1+x22)2+b•x1+x22+c]=a[x122+x222-(x1+x22)2]=14a(x1-x2)2，因为a＞0，x1＜x2，f（x1）≠f（x2），所以14a(x1-x2)2＞0，故12[f（x1）+f（x2）]＞f（x1+x22）；（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0，∴-b2a=-1，4ac-b24a=0⇒b=2a，b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c，由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤12（x-1）2，令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，由a+b+c=1b=2aa=c解得a=c=14，b=12，当a=c=14，b=12时，f（x）=14x2+12x+14=14（x+1）2，其顶点为（-1，0）满足条件①，又f（x）-x=14（x-1）2，所以对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤12（x-1）2，满足条件②．∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|