定义在上的函数f，对任意的x，y∈都有：f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；且当x∈时，f＞0，回答下列问

题文

定义在（-1，1）上的函数f（x），对任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；且当x∈（-∞，0）时，f（x）＞0，回答下列问题：（1）判断函数f（x）在（-1，1）的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数f（x）在（-1，1）的单调性，并说明理由；（3）若f(15)=12，试求f(12)-f(111)-f(119)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．    …4（2）任取x1，x2∈（-1，1）且设x1＜x2f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，则|x1x2|＜0∴1-x1x2＞0∴x1-x21-x1x2＜0∴f(x1-x21-x1x2)＞0∴f(x1)＞f(x2)∴函数在给定区间上递减．                …8（3）f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)∴f(12)-f(15)=f(13)，f(13)-f(111)=f(14)，f(14)-f(119)=f(15)∴f(12)-f(111)-f(119)=2f(15)=1…12．

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解析

x1-x21-x1x2

考点

据考高分专家说，试题“定义在（-1，1）上的函数f（x），对任.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|