已知函数f的定义域是，对于任意的x，y∈，有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f＞0．验证函数g

题文

已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0．（Ⅰ）验证函数g(x)=ln1-x1+x是否满足上述这些条件；（Ⅱ）你发现这样的函数f（x）还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，得1-x1+x＞0，解之得-1＜x＜1，得函数的定义域为（-1，1）；…（2分）∵g(x)+g(y)=ln1-x1+x+ln1-y1+y=ln(1-x1+x•1-y1+y)=ln1-x-y+xy1+x+y+xyg(x+y1+xy)=ln1-x+y1+xy1+x+y1+xy=ln1-x-y+xy1+x+y+xy∴g(x)+g(y)=g(x+y1+xy)成立，…（4分）又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴1-x1+x＞1，可得g(x)=ln1-x1+x＞0成立综上所述，可得函数g(x)=ln1-x1+x满足题意所述条件．…（6分）（II）发现函数f（x）是区间（-1，1）上的奇函数，且是减函数．证明如下①将x=0代入条件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0再令y=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）在（-1，1）上是奇函数． …（9分）②以-y代替y，代入条件得f(x)+f(-y)=f(x-y1-xy)，结合函数为奇函数得f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)当-1＜x＜y＜1时x-y1-xy＜0，结合已知条件得f(x-y1-xy)＞0∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），因此，函数f（x）在（-1，1）上是减函数．…（12分）

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解析

1-x1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域是（-1，1），.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|