数列{an}满足a1=a，an+1=an+32，n=1，2，3，…．若an+1=an，求a的值；当a=12时，证明：an＜32；设数列{an

题文

数列{an}满足a1=a，an+1=an+32，n=1，2，3，…．（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；（Ⅱ）当a=12时，证明：an＜32；（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为an+1=an，所以an=an+32，解得an=32或an=-1（舍去）．由n的任意性知，a1=a=32．（3分）（Ⅱ）反证法：假设an≥32，则3+an-12≥32，得an-1≥32，依此类推，an-2≥32，，a2≥32，a1≥32，与a1=12矛盾．所以an＜32．（8分）（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2an2=an-1+3，2（an2-1）=an-1+1，2（an-1）（an+1）=an-1+1，所以2(an-1)=an-1+1an+1．同理2(an-1-1)=an-2+1an-1+1，2(a3-1)=a2+1a3+1，2(a2-1)=a1+1a2+1．将上述n-1个式子相乘，得2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=a1+1an+1，即2n-1×Tna1-1=a1+1an+1，(an+1)Tn=a21-12n-1．所以a12-12n-1≤6对任意n≥2恒成立．又n=1时，（a1+1）（a1-1）=a12-1≤6，故a12≤6×2n-1+1对任意n∈N*恒成立．因为数列{6×2n-1+1}单调递增，所以a12≤6×1+1=7，即a的取值范围是[-7，7]．（14分）

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解析

an+32

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=a，an+1=an.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|