已知函数f=x2+ax+b

题文

已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[-12，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）x+1＞0得 f（x）的定义域为（-1，+∞）f′(x)=2x+a-2x+1∵函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．∴f（0）=1，f'（0）=0∴a=2，b=1…（5分）∴f（x）=x2+2x+1-2ln（x+1）f′(x)=2(1+x)-21+x=2[(1+x)-11+x]＞0⇒x2+2x1+x＞0⇒x＞0f′(x)=2(1+x)-21+x=2[(1+x)-11+x]＞0⇒x2+2x1+x＜0⇒-1＜x＜0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间（-1，0）．         …（10分）（Ⅱ）当x∈[-12，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．令f′（x）=0⇒（1+x）2=1⇒x=0或x=-2（舍）f(-12)=14+2ln2，f（0）=1，f（e-1）=e2-2＞f(-12)∴当x∈[-12，e-1]时，f（x）max=f（e-1）=e2-2因此可得：不等式f（x）＜m恒成立时，m＞e2-2…（15分）

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解析

2x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|