已知函数f=ln求实数集R上的奇函数，函数g=λf+sinx是区间[

题文

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程lnxf(x)=x2-2ex+m的根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，则ln（e0+a）=0解得a=0，a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，∴λ≤-1，g（x）max=g（-1）=-1-sin1，只需-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1），∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤-1）则 t+1≤0h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0，解得t≤-1（3）由（1）得f（x）=x∴方程转化为lnxx=x2-2ex+m，令F（x）=lnxx（x＞0），G（x）=x2-2ex+m  （x＞0），（8分）∵F'（x）=lnxx，令F'（x）=0，即lnxx=0，得x=e当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=1e（10分）而G（x）=（x-e）2+m-e2   （x＞0）∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）当x=e时，G（x）min=m-e2（12分）∴当m-e2＞1e，即m＞e2+1e时，方程无解；当m-e2=1e，即m=e2+1e时，方程有一个根；当m-e2＜1e，即m＜e2+1e时，方程有两个根；（14分）

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解析

t+1≤0h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|