设函数f=loga，g=loga，．设函数F=f

题文

设函数f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x），（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x），判断函数F（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若关于x的方程g（m+2x-x2）=f（x）有实数根，求实数m的范围；（Ⅲ）当a＞1时，不等式f（n-x）＞12g（x）对任意x∈[0，1]恒成立，求实数n的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）要使函数（x）=f（x）-g（x）有意义，则1-x＞01+x＞0，解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1）关于原点对称．∵F（x）=f（-x）-g（-x）=loga（1+x）-loga（1-x）=-[f（x）-g（x）]=F（-x），∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数；（II）方程g（m+2x-x2）=f（x）有实数根，即loga[1+(m+2x-x2)]=loga(1-x)所以1+m+2x-x2=1-x，即m=x2-3x有实数根，由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2．∵m=x2-3x=(x-32)2-94，0＜x＜2，∴-94≤m＜0．（Ⅲ）因为f（n-x）=loga（1-n+x），12g（x）=12loga(1+x)，所以由a＞1且f（n-x）＞12g（x）得1-n+x＞1+x，设t=1+x，则1≤t≤2，所以不等式等价为t2-n＞t，即n＜t2-t，设g（t）=t2-t，则g(t)=(t-12)2-14，所以当t=1，即x=0时，g（t）有最小值0．所以n＜0．

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解析

1-x＞01+x＞0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=loga（1-x），g（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|