定义在的函数f，对于任意的x，y∈，都有f(x+y1+xy)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f＞0，f(12)=12

题文

定义在（-1，1）的函数f（x），对于任意的x，y∈（-1，1），都有f(x+y1+xy)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f（x）＞0，f(12)=12（1）判断f（x）的奇偶性并证明（2）证明f（x）在区间（-1，1）上是增函数（3）若f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-45，45]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．证明：∵函数定义域为（-1，1），令x=y=0得f（0）=0，令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（2）设-1＜x1＜x2＜1，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x11-x2x1 ），而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1∴1-x1x2＞0∴x2-x11-x2x1＞0，又x＞0时，f（x）＞0，∴f（x2-x11-x2x1 ）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数；（3）∵f（12）=12，f（x+y1+xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=12得：f（12+121+12×12）=2f（12）=1，即f（45）=1．因为函数f（x）在（-1，1）上是增函数，故在[-45，45]上是增函数，又f（45）=1，f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-45，45]，a∈[-1，1]恒成立⇔1＜m2-2am+1，对所有x∈[-45，45]，a∈[-1，1]恒成立，即m2-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立．记g（a）=m2-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）＞0成立，只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）＞0；g（1）＞0．解得：m＜-2或m=0，或m＞2．故m的取值范围为m＜-2，或m=0，或m＞2．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

x2-x11-x2x1

考点

据考高分专家说，试题“定义在（-1，1）的函数f（x），对于任.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|