设函数f=ln．若对所有的x≥0，都有f≥ax成立，求实数a的取值范围．

题文

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a令g′（x）=0，解得x=ea-1-1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，ea-1-1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜ea-1-1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（-∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a令g′（x）=0，解得x=ea-1-1，当x＞ea-1-1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当-1＜x＜ea-1-1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为ea-1-1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|