设f(x)=ln(1+x)x(x＞0)判断函数f的单调性；是否存在实数a，使得关于x的不等式ln＜ax在上恒成立，若存在

题文

设f(x)=ln(1+x)x(x＞0)（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；（Ⅲ）求证：(1+1n)n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵f(x)=ln(1+x)x，(x＞0)∴f′(x)=x1+x-ln(1+x)x2，设g(x)=x1+x-ln(1+x)，(x≥0)．∴g′(x)=1+x-x(1+x)2-11+x=1-(1+x)(1+x)2=-x(1+x)2≤0，∴y=g（x）在[0，+∞）上为减函数．∴g(x)=x1+x-ln(1+x)≤g(0)=0，∴f′(x)=x1+x-ln(1+x)x2＜0，∴函数f(x)=ln(1+x)x在（0，+∞）上为减函数．（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，⇔ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=ln（1+x）-ax，则h（0）=0，∴h′(x)=11+x-a，若a≥1，则x∈[0，+∞）时，h′(x)=11+x-a≤0恒成立，∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数∴ln（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，∴ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若a≤0显然不满足条件，若0＜a＜1，则h′(x)=11+x-a=0时，x=1a-1，∴x∈[0，1a  时h'（x）≥0，∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，1a  上为增函数，当x∈[0，1a  时，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1（3）由（2）可知ln(1+x)x＜1在（0，+∞）上恒成立，∴ln(1+x)1x＜1，即(1+x)1x＜e，取1x=n，即可证得(1+1n)n＜e对一切正整数n成立．

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解析

ln(1+x)x

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=ln(1+x)x(x＞0)（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|