已知函数f(x)=lnx+1x

题文

已知函数f(x)=lnx+1x-1．（Ⅰ）求函数的定义域，并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数；（Ⅱ）对于x∈[2，6]f(x)=lnx+1x-1＞lnm(x-1)(7-x)恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由x+1x-1＞0，解得x＜-1或x＞1，∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(-x)=ln-x+1-x-1=lnx-1x+1=ln(x+1x-1)-1=-lnx+1x-1=-f(x)∴f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数．（Ⅱ）由x∈[2，6]时，f(x)=lnx+1x-1＞lnm(x-1)(7-x)恒成立，∴x+1x-1＞m(x-1)(7-x)＞0，∵x∈[2，6]∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）2+16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，x∈[2，6]时，g（x）min=g（6）=7．．∴0＜m＜7．

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解析

x+1x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=lnx+1x-1．（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|