设x=

题文

设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ1λ2∈[-2，1]总有|f（λ1）-f（λ2）|＜[（m+2）a+1]e3恒成立，若存在求出m的范围．若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f'（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e2-x由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x2+ax+2a-3）e2-xf′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a由于x=-1是f（x）的极值点，故x1≠x2，即a≠4①当a＜4时，x2＞x1，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）的单调减区间．…（4分）②当a＞4时，x2＜x1，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e3，e4]…（8分）假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e3＞e4-（a-2）e3恒成立，即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）令g（a）=（m+3）a-e-1，则有g(-2)≥0g(-1)≥0，解得m≤-12(e+7)m≤-4-e，即m≤-4-e故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分）

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解析

f′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a

考点

据考高分专家说，试题“设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|