设定义域在[x1，x2]的函数y=f的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)，OM=(x，y)，

题文

设定义域在[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)，OM=(x，y)，若x=λx1+（1-λ）x2，记向量ON=λOA+(1-λ)OB，现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准K下线性近似”是指|MN|≤K恒成立，其中K是一个正数．（1）证明：0≤λ≤1（2）；（3）请你给出一个标准K的范围，使得[0，1]上的函数y=x2（4）与y=x3（5）中有且只有一个可在标准K下线性近似． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，x1≤x≤x2，即x1≤λx1+（1-λ）x2≤x2，∴x1-x2≤λ（x1-x2）≤0．∵x1-x2＜0，∴0≤λ≤1．（2）由ON=λOA+(1-λ)OB所以B、N、A三点在一条直线上．又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．对于[0，1]上的函数y=x2，A（0，0），B（1，1），则有||MN||=x-x2=14-(x-12)2，故|MN|∈[0，14]．对于[0，1]上的函数y=x3，则有=x-x3=g（x）．在（0，1）上，g′（x）=1-3 x2，可知在（0，1）上y=g（x）只有一个极大值点x=33，所以函数y=g（x）在（0，33）上是增函数；在（33，1）上是减函数．又g（33）=239，故[0，|MN|∈[0，239]]．经过比较，14＜239，所以取k[14，239），则有函数y=x2在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x3在[0，1]上不可在标准k下线性近似．

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解析

ON

考点

据考高分专家说，试题“设定义域在[x1，x2]的函数y=f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|