已知函数y=f，方程f=x的根x0称为函数f的不动点；若a1∈D，an+1=f，则称{an} 为由函数f导

题文

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），则称{an} 为由函数f（x）导出的数列．设函数g（x）=4x+2x+3，h（x）=ax+bcx+d(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)（1）求函数g（x）的不动点x1，x2；（2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{an-x1an-x2}是等比数列，并求limn→∞an；（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件．注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）4x+2x+3=x，即x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．（2）：a1=3，an+1=g（an）=4an+2an+3，设cn=an+1an-2，则cn+1=an+1+1an+1-2=5an+52an-4=52an+1an-2=52cn，c1=a1+1a1-2=4．所以数列{an+1an-2}是等比数列，公比为52，首项为4．an+1an-2=4•(52)n-1得an=8•5n-1+2n-14•5n-1-2n-1．limn→∞an=limn→∞8•5n-1+2n-14•5n-1-2n-1=limn→∞8+(25)n-14-(25)n-1=2．（3）：h（x）=ax+bcx+d=x，即cx2+（d-a）x-b=0．因为△=（d-a）2+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x1，x2．b1=p，bn+1=h（bn）=abn+bcbn+d，bn+1-x1bn+1-x2=abn+bcbn+d-ax1+bcx1+dabn+bcbn+d-ax2+bcx2+d=cx2+dcx1+d•bn-x1bn-x2，则{bn-x1bn-x2}是等比数列，首项为p-x1p-x2，公比为cx2+dcx1+d．因为bn-x1bn-x2=p-x1p-x2（cx2+dcx1+d）n-1，所以bn+T-x1bn+T-x2=p-x1p-x2（cx2+dcx1+d）n+T-1．数列{bn}为周期数列的充要条件是（cx2+dcx1+d）n-1=（cx2+dcx1+d）n+T-1，即（cx2+dcx1+d）T=1．故|cx2+dcx1+d|=1，但x1≠x2，从而cx2+d=-cx1-d．x1+x2=-2dc=-d-ac，故d=-a．

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解析

4x+2x+3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|