已知函数f满足下列条件：函数f定义域为[0，1]；对于任意x∈[0，1]，f≥0，且f=0，f=1；对于满足条件

题文

已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1的任意两个数x1，x2，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）（Ⅱ）由已知条件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），∴当x=0时，f（0）=0≤2×0，∴当x=0时，f（x）≤2x．假设存在x0∈（0，1]，使得f（x0）＞2x0，则x0一定在某个区间x0∈(12k，12k-1]上．设x0∈(12k，12k-1]，则f（2x0）＞4x0，f（4x0）＞8x0，┅，f（2k-1x0）＞2kx0．由x0∈(12k，12k-1]；可知12＜2k-1x0≤1，且2kx0＞1，∴f（2k-1x0）≤f（1）=1，又f（2k-1x0）＞2kx0＞1．从而得到矛盾，因此不存在x0∈（0，1]，使得f（x0）＞2x0．∴对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）（Ⅲ）取函数f(x)=0，0≤x≤121，12＜x≤1.则f（x）显然满足题目中的（1），（2）两个条件．任意取两个数x1，x2，使得x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，若x1， x2∈[0，12]，则f（x1+x2）≥0=f（x1）+f（x2）．若x1，x2分别属于区间[0，12]和(12，1]中一个，则f（x1+x2）=1=f（x1）+f（x2），而x1，x2不可能都属于(12，1]．综上可知，f（x）满足题目中的三个条件．而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．即不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．（14分）

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

12k

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|