已知函数f=2x+1．若f可以表示为一个偶函数g与一个奇函数h之和，设h=t，p=g

题文

已知函数f（x）=2x+1（x∈R）．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）-2h（x），求p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2-2m对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，由①②解得g（x）=12[f（x）+f（-x）]，h（x）=12[f（x）-f（-x）]，∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．∵g（-x）=12[f（-x）+f（x）]=g（x），h（-x）=12[f（-x）-f（x）]=-h（x）．∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，∴g（x）=12[f（x）+f（-x）]=12（2x+1+2-x+1）=2x+2-x，h（x）=12[f（x）-f（-x）]=12（2x+1-2-x+1）=2x-2-x．由2x-2-x=t，则t∈R，平方得t2=（2x-2-x）2=22x-2-2x-2，∴g（2x）=22x+2-2x=t2+2，∴p（t）=t2-2t+2．（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴32≤t≤154．∴p（t）=t2-2t+2≥m2-2m对于t∈[32，154]恒成立，∴m2-2m≤（t-1）2+1对于t∈[32，154]成立，令φ（t）=（t-1）2+1，则∵t∈[32，154]，故φ（t）单调递增，φ（t）min=φ（32）=54∴m2-2m≤54解得-12≤m≤52

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1（x∈R）．（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|