下列说法：①若f=ax2+x+2是偶函数，则实数b=2；②f=2009

题文

下列说法：①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函数，则实数b=2；②f（x）=2009-x2+x2-2009既是奇函数又是偶函数；③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．其中所有正确命题的序号是 ______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①∵f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则2a-1+a+4=0得a=-1，又∵f（-x）=f（x）可解得b=2；故①正确．②将函数化简得：f（x）=0，x∈R，∴既是奇函数又是偶函数；故②正确．③设x＜0，由-x＞0，又∵当x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x）∴f（-x）=-x（1-x），又∵f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=-f（-x）=x（1-x）∴当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；故③正确．④令x=y=0，得f（0）=0再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）∴f（1）=0再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）∴f（-1）=0再令y=-1得f（-x）=xf（-1）-f（x）则，f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．故④正确．故答案为：①②③④

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“下列说法：①若f（x）=ax2+（2a+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|