定义在R上的奇函数f有最小正周期为2，且x∈时，f(x)=2x4x+1．求f在[

题文

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（3）当λ为何值时，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有实数解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．又∵2为最小正周期，∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=2-x4-x+1=2x4x+1=-f(x)，∴f(x)=-2x4x+1，∴f(x)=-2x4x+1，x∈(-1，0)0，x∈{-1，0，1}2x4x+1，x∈(0，1). （2）设0＜x1＜x2＜1，f（x1）-f（x2）=(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)(4x1+1)(4x2+1)=(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(4x1+1)(4x2+1)＞0，∴f（x）在（0，1）上为减函数． （3）∵f（x）在（0，1）上为减函数，∴2141+1＜f(x)＜2040+1，即f（x）∈（25，12）．同理，x在（-1，0）上时，f（x）∈（-12，-25）．又f（-1）=f（0）=f（1）=0，∴当λ∈（-12，-25）∪（25，12）或λ=0时，f（x）=λ在[-1，1]内有实数解．

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解析

2-x4-x+1

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|