已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n+32an．数列{bn}是等差数列，且b2=a2，b20=a4．求证：数列{an

题文

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n+32an（n∈N*）．数列{bn}是等差数列，且b2=a2，b20=a4．（1）求证：数列{an-1}是等比数列；（2）求数列{bnan-1}的前n项和Tn；（3）若不等式Tn+-n2+11n-62×3n＜log ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N*恒成立，求实数x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=n+32an，①当n≥2时，Sn-1=n-1+32an-1，②两式相减得an=1+32an-32an-1，即an=3an-1-2，（1分）当n≥2时，an-1an-1-1=3an-1-2-1an-1-1=3为定值，（2分）所以数列{an-1}是等比数列，公比是3，（3分）（2）由Sn=n+32an，令n=1，得a1=-2． 所以数列{an-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．∴an-1=-3×3n-1，即an-1=-3n．（4分）∴b2=-8，b20=-80．由{bn}是等差数列，求得bn=-4n（5分）∵Tn=b1a1-1+b2a2-1+…+bn-1an-1-1+bnan-1=4[131+232+…+(n-1)3n-1+n3n]，而13Tn=4[132+233+…+(n-1)3n+n3n+1]，相减得23Tn=4(131+132+…+13n-n3n+1)，即Tn=2(130+131+…+13n-1)-2n3n，则 Tn=21-(13)n1-13-2n3n=3-2n+33n．（8分）（3）令Pn=Tn+-n2+11n-62×3n则Pn=3-2n+33n+-n2+11n-62×3n=3+-n2+7n-122×3n（9分）Pn+1=3+-n2+5n-62×3n+1∴Pn+1-Pn=-n2+5n-62×3n+1--n2+7n-122×3n=2n2-16n+302×3n+1=(n-3)(n-5)3n+1（10分）∴当n＞5时Pn+1-Pn＞0此时Pn单调递增；（11分）∵当n＞5时，-n2+7n-12＜0从而3+-n2+7n-122×3n＜3∴当n＞5时，Pn＜3∵P1=3-1=2，P2=3-19＜3，P3=P4=3，P5=P6=3-1243＜3∴当n∈N*时，Pn的最大值为3（13分）∵不等式Tn+-n2+11n-62×3n＜log ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N*恒成立∴logax＞3．（14分）故当a＞1时，x≥a3；当0＜a＜1时，0＜x≤a3．（16分）

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|