已知函数f(x)=x+2a2x

题文

已知函数f(x)=x+2a2x-alnx  (a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）=x+2a2x-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-2a2x2-ax=x2-ax-2a2x2=(x+a)(x-2a)x2，①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．（2）当a=1时，f（x）=x+2x-lnx(x＞0)．由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=3-ln2．因为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）min≥g（x）恒成立，即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，即2b≥x+1x对于任意x∈[1，e]恒成立，因为函数y=x+1x的导数y′=1-1x2≥0在[1，e]上恒成立，所以函数y=x+1x在[1，e]上单调递增，所以(x+1x)max=e+1e，所以2b≥e+1e，所以b≥e2+12e，故实数b的取值范围为[e2+12e，+∞）．

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解析

2a2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+2a2x-alnx.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|