在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若OM=xOA，ON=yOB．求证：x与y的关系为y=xx+1；设f(x

题文

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若OM=xOA，ON=yOB．（1）求证：x与y的关系为y=xx+1；（2）设f(x)=xx+1，定义函数F(x)=1f(x)-1(0＜x≤1)，点列Pi（xi，F（xi））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{xn}是以首项为1，公比为12的等比数列，O为原点，令OP=OP1+OP2+…+OPn，是否存在点Q（1，m），使得OP⊥OQ？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+12在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵OMOA=OMCB=ONNB，∴x=y1-y，从而y=x1+x．（2）F(x)=x+1x-1=1x，∴Pi(xi，1xi)，又xn=(12)n-1，1xn=2n-1，∴OP=(1+12++12n-1，1+2++2n-1)=(2-12n-1，2n-1)．设OP⊥OQ，则OP•OQ=0．∴2-12n-1+m(2n-1)=0，∵n≥2，∴m=-12n-1，故存在Q(1，-12n-1)满足条件．（3）当x∈[0，1]时，G(x)=xx+1，又由条件得G（2-x）=G（x），∴G（2+x）=G（-x）=G（x）．当x∈[1，2]时，0≤2-x≤1，∴G(2-x)=2-x2-x+1=2-x3-x，∵G（2-x）=G（x），∴G(x)=2-x3-x，从而G(x)=xx+1(0≤x≤1)2-x3-x(1≤x≤2)．由G（x+2）=G（x）得G(x)=x-2kx-2k+1x∈[2k，2k+1]x-2k-2x-2k-3x∈[2k+1，2k+2]．设y1=G(x)，y2=ax+12，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，当函数y2=ax+12图象经过点（2k+2，0）时，a=-14(k+1)．由图象可知，当a∈[-14(k+1)，0)时，y1与y2的图象在x∈[2k，2k+2]（k∈N）有两个不同交点，因此方程G(x)=ax+12在x∈[2k，2k+2]上有两个不同的解．

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解析

OMOA

考点

据考高分专家说，试题“在平行四边形OABC中，已知过点C的直线.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|