设函数f(x)=lnx，g(x)=x

题文

设函数f(x)=lnx，g(x)=x-1x．（1）求Φ（x）=g（x）+kf（x）（k＜0）的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax+a成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数φ（x）=x-1x+klnx的定义域为（0，+∞）．φ′（x）=1+1x2+kx=x2+kx+1x2，记函数h（x）=x2+kx+1，其判别式△=k2-4．①当△=k2-4≤0，（k＜0），即-2≤k＜0时，g（x）≥0恒成立，∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．②当△=k2-4＞0，（k＜0）即k＜-2时，方程h（x）=0有两个不等的实根x1=-k-k2-42＞0，x2=-k+k2-42＞0．若x1＜x＜x2，则h（x）＜0，∴φ′（x）＜0，∴φ（x）在区间（x1，x2）上递减；若x＞x2或0＜x＜x1，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上递增．综上可知：当-2≤k＜0时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；当k＜-2时，φ（x）的递增区间为（0，-k-k2-42）和（-k+k2-42，+∞），递减区间为（-k-k2-42，-k+k2-42）．（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax+a⇔a≤xlnxx+1，令t（x）=xlnxx-1，x∈[e，+∞），则h′（x）=x+lnx+1(x+1)2，∵当x≥e时，（x+lnx+1）′=1+1x＞0，∴函数y=x+lnx+1在[e，+∞）上是增函数，∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2＞0，h′（x）＞0，∴t（x）的最小值为h（e）=ee+1，∴a≤ee+1．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=lnx，g(x)=x-1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|