设函数f=1

题文

设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N*，求证：e2n-nk=14k+1≤n!≤en(n-1)2（其中e是自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=1-e-x，∴f′（x）=-e-x•（-1）=e-x，函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe-x，∴h′（x）=（1-x）•e-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=1e．（4分）（Ⅱ）由题1-e-x≤xax+1在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1-e-x∈[0，1），∴xax+1≥0，若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-1x恒成立，则a≥0．不等式1-e-x≤xax+1恒成立等价于（ax+1）（1-e-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）令μ（x）=（ax+1）（1-e-x），则μ′（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，又令v（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，则v′（x）=e-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．①当a=0时，v′（x）=-e-x＜0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②当a≥0时，v′(x)=-a•e-x(x-2a-1a)．ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤12时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，∴μ（x）≤μ（0）=0，此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）ⅱ）若2a-1＞0，即a＞12时，若0＜x＜2a-1a时，v′（x）＞0，则v（x）在（0，2a-1a）上单调递增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，2a-1a）上也单调递增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．（9分）综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，12]．（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=12时，则1-e-x≤x12x+1，∴e-x≥2-x2+x，当x∈[0，2）时，e-x≥2-x2+x，∴x≤ln2+x2-x，令2+x2-x=n，则x=2n-2n+1=2-4n+1，∴lnn≥2-4n+1(n∈N*)，∴n k=1lnk≥2n-n k=14k+1，∴ln(n!)≥2n-n k=14k+1，（12分）又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即xe-x≤1e，当x＞0时，ln(xe-x)≤ln1e=-1，∴lnx≤x-1，ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=n(n-1)2，综上得2n-n k=14k+1≤ln（n!）≤n2-n2，即e2n-n k=14k+1≤n!≤en(n-1)2．（14分）

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解析

1e

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=1-e-x，函数g(x).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|