已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{bn}满足bn+2

题文

已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=3(2an-11)(2bn-1)，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式Tn＞k57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，得Snn=12n+112，即Sn=12n2+112n．故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(12n2+112n)-[12(n-1)2+112(n-1)]=n+5．注意到n=1时，a1=S1=6，而当n=1，n+5=6，所以，an=n+5（n∈N*）．又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），所以{bn}为等差数列，于是9(b3+b7)2=153．而b3=11，故b7=23，d=23-117-3=3，因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）．（Ⅱ）cn=3(2an-11)(2bn-1)=3[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)．所以，Tn=c1+c2+…+cn=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)++(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)=n2n+1．由于Tn+1-Tn=n+12n+3-n2n+1=1(2n+3)(2n+1)＞0，因此Tn单调递增，故(Tn)min=13．令13＞k57，得k＜19，所以Kmax=18．

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解析

Snn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若：  （1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|  （2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| （3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| （4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =  ==> 函数最小正周期 T=|2a|  （5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =   ==> 函数最小正周期 T=|4a|